新编经济应用数学课程教学定位改革探索

研究了如何将经济应用数学教材内容经过二度创造后成为教学内容，依照“经济问题引入→基本概念及方法→经济应用和拓展”的项目驱动思路而不是仅仅从定义、定理出发安排教学。大胆探索经济应用数学课程在高职院校教学定位，切实有效地为专业学科课程做好基础学科教学服务，并且有效解决课程学时少与学生生源多样化的问题，大量节省教学资源。

高职经济应用数学教学原则教学定位一、课程教学原则

课程教学原则是“定位高职、注重直观、弱化抽象、淡化技巧、强化应用”；不仅强调经济应用数学的职业性特点，而且关注经济应用数学的育人功能，有效解决课程学时少与学生生源多样的问题。教学内容的先进性和教学方法的先进性并行，探索和解决以下数学教学中的主要矛盾：

1.课程学时少而教学内容多。教师可根据专业特点和生源的差异灵活组织教学。例如，布置课堂作业不必统一要求，可分为全班学生都要完成基本题和要求部分学有余力的同学完成的提高题，坚持分层次教学。

2.注重教学方法而忽视学习方法。教师要灵活运用发现法、归纳法、启发式等直观的教学方法，特别注意发挥学习优秀的学生的示范作用。对较难理解的内容采用直观易懂的讲法，让学生了解本质、强化分类、简单高效的掌握基本的计算方法（极限运算、求导运算、积分运算）。

3.强调应用价值而忽视育人功能。教师要展示数学知识的形成背景和对现实世界的影响，有利于发挥数学课程的育人功能，激发学生的学习兴趣和提升数学应用的能力。

二、数学文化教育素材和教学定位

数学的人文精神表现在：通过学习数学史，培养坚韧的意志和品质；树立正确的人生观，培养爱国情怀；理论联系实际，培养责任感；实践获真知，倡导追求真理的实践精神。受过高等数学教育的人和没有经过这种教育的人的区别，在于前者在分析定量问题时，总是用一些数学理论作为参考系，从而保证了分析定量问题时的科学性、系统性和一致性；表达有条有理，简明干练。既有人文素质又有科学素质的人，做什么工作都让人觉得像模像样。

1.经济学中常见的数学模型——经济函数

函数(function)一词最初由德国数学家莱布尼兹1692年开始使用，1859年清代李善兰（浙江海宁人，近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，中国进行微积分运算第一人，称他为中国近代科学的奠基人可谓名至实归）第一次将“function”翻译成“函数”。最常见的经济函数及其模型有：需求函数、供给函数、收益函数、总成本函数、平均成本函数、利润函数、复利问题和贴现问题等。

学习经济学中常用的函数时，要注意它们之间的内在联系。例如，类似于力学的均衡概念，分析通过市场让需求函数和供给函数之间达到平衡，则得到市场均衡价格。价格函数是需求函数的反函数。收益函数主要由价格的变化而确定。利润函数有三种情况，盈利、亏损和盈亏平衡（保本）。关于函数概念的理解，特别要认识复合函数的结构，明确从外向内的复合过程，并把复合函数分解为简单函数的过程进行到底。

2.无限变化的函数模型——极限与经济函数

微积分学的研究对象是变动的量，注重变量的本质和规律，这一点对研究经济变量非常重要。我们应关注变量的变化过程，更应从变量的变化过程中判断它的变化趋势。而要把握这两个方面都需要借助极限的方法。极限的方法是人们从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变的辩证思想和数学方法。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，出自于《庄子•天下篇》。这十二个子看似简单，其中却包含了丰富的内容，它说明两千多年前的庄子已经初步认识到以0为极限的过程！当然，它还说明古代中国已经有了长度的度量单位和对分数的认识。1821年，法国数学家柯西提出了关于叙述极限的ε方法，用不等式刻画整个极限过程，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。柯西被人们称为近代微积分的奠基者。在此基础上，德国数学家魏尔斯特拉斯（1815～1897）完成了ε-δ方法，摆脱了对极限单纯的运动和直观的解释。而微积分中的导数、定积分和级数等概念都是用极限来定义的。经济学中的极限问题有连续复利、人口增长等。

学习极限首先要理解关于自变量变化趋势的有关数学符号，体会数学符号和术语精确与简约的优越性，没有含糊不清或产生歧义的缺陷并清除了传递过程中的冗长信息；记住两个重要极限公式；灵活掌握求极限的方法；注意判断分段函数在分段点的连续性。

3.经济分析的基本工具——导数、微分

导数反映了函数的变化率，它在经济领域中有着极其广泛的应用。微分则指自变量有微小改变时，函数增量的主部是多少。17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地研究和完成了微积分的创立工作。牛顿从变速直线运动研究微积分（但严格的说，自然万物都偏离了直线而以螺旋的形式旋转，遗传基因中DNA、攀援植物的卷须、河水的旋涡、龙卷风、漩涡星云……世界就是一个漩涡，这是大自然醉人的脚步）。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则（最漂亮的数学积分符号“∫”也是莱布尼兹发明的），其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。

微积分是继欧几里得几何学之后，整个数学发展史上的最伟大的创造。正如冯•诺伊曼所言，“微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性怎样的估计都不过分”。特别是微积分基本定理，把微分和积分这两个貌似无关的问题联系在一起给微积分以特有的魅力，使得微分和积分成为一个整体，促进一门崭新的数学学科——微积分的形成。

微积分的奇妙使数学家产生强烈的好奇心。好奇心是科学之母。没有一个伟大的数学家不是对浩瀚的宇宙怀着极端的好奇心的人。但好奇心需要有支撑它的渊博的基础科学修养和睿智高雅的判断能力，需要有专心致志于一件有意味的研究的坚韧毅力；不为伪科学和赝科学所迷惑，而沉浸于一种内心宁静和愉悦的思考之中。矢志不渝，积以年月，登上科学的崇高殿堂。

4.导数在经济上的应用问题——边际、弹性、最值

在经济学中，边际是与导数密切相关的一个经济学概念。边际分析源于数学中的增量分析，它反映了经济函数中的自变量发生微小变动时，函数如何随之变动。边际分析把导数引入了经济学，从此，许多经济现象开始由定性分析转入了定量分析。西方经济学家非常重视“边际分析方法”，把边际分析方法的发现和应用看成是一场“边际革命”，自19世纪70年代“边际革命”兴起后，边际概念（边际成本、边际收益、边际利润）和边际分析法立刻广泛传播，并构成西方经济学的重要组成部分。

边际分析中考虑的是经济函数的绝对增量和绝对变化率，但在研究实际问题时是远远不够的。我们还有必要研究函数的相对增量和相对变化率，即需求弹性和收益弹性。弹性函数实质上是边际函数除以平均函数。

学习导数在经济学中的应用时，要着重理解其经济涵义。例如，边际利润为零时，达到最大利润。需求弹性表示需求量对价格变化的敏感程度。举一个实例，生活必需品的价格变化对需求量影响较小，缺乏弹性。适当提价后，需求量不会有太大的下降。学习最优化问题时，要明确目标函数，确定决策变量，这是解题的前提，往往不易掌握。

5.微分的逆运算问题——不定积分

积分学的起源要比微分学早很多。自古以来，面积和体积的计算一直是数学家们所感兴趣的问题。莱布尼兹将曲边形看成无穷多个底边为无穷小的矩形之和，从而导致了积分的产生。牛顿则从面积的变化率（即导数）入手，通过求变化率的逆过程来计算面积，俩人都得到了积分计算法，又几乎同时得出了不定积分与微分的互逆关系，提供了计算定积分的一般方法，由此创立了积分学。但是，他们的定积分概念缺少逻辑基础，严格的定积分定义则是由19世纪的法国数学家柯西和德国数学家黎曼建立的。

6.求总量或变化量的问题——定积分及其经济应用

不定积分是微分法运算的一个侧面，而定积分（和式的极限）则是它的另一个侧面。不定积分和定积分既有区别，又有联系。微积分的基本定理提供了计算定积分的一般方法，自此，定积分成为解决实际问题的有力工具。而原本各自独立的微分学和积分学则紧密地联系在一起，构成了理论体系完整的微积分学。

定积分在经济学中的应用表现为边际函数和经济函数之间的关系。例如，从边际成本函数求出总成本函数；从边际收益函数求出收益函数；从边际利润函数求出利润函数；资金流在连续复利计息下的现值与将来值；消费者剩余与生产者剩余；洛伦兹曲线与基尼系数等。

计算定积分的着眼点是算出数值。因此，除了利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分外，还要尽量利用定积分的几何意义、求对称区间上定积分时考虑被积函数的奇偶性。

7.偶然中的必然——随机事件与概率

法国数学家拉普拉斯是这样描述概率论的：“一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情”。三四百年前，在欧洲许多国家盛行赌博之风。参赌者将他们遇到的问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，但他没有立即回答，而转交给另一位法国数学家费马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来的巴黎的荷兰数学家惠更斯获悉。回到荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于建立了概率论的一个基本概念——数学期望。而惠更斯经过多年潜心研究，写成了《论掷骰子游戏中的计算》，迄今为止，这本书被认为是概率论最早的专著。可以说，早期概率论的创立者是帕斯卡、费马和惠更斯。这一时期主要研究各种古典概率。例如，购买彩票中奖的可能性有多大？以某地体育彩票为例，经计算，买一注彩票的中奖概率为：

特等奖——0.000001323，一等奖——0.000006614，二等奖——0.00006614，三等奖——0.0005952，四等奖——0.0041667，五等奖——0.05556。

这就是说，每1000注彩票，约有55注中奖（包括特等奖到五等奖）。结论是，买彩票中大奖的概率几乎为零！

概率论有鲜明的直观，懂得这一点，有利于理解与想象，为理论的理解和证明提供思路、模型和方法。例如，排列组合实际上是建立在加法原理和乘法原理之上，由此引发出贝努利大数定理（保证事件发生频率的稳定性，即当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率）、中心极限定理（正态分布在现实世界中大量存在，如一个地区的成年男子的身高、学生期末考试成绩、测量误差、海洋波浪的高度、半导体器件的热噪声电流或电压等）。

8.随机现象的函数化——随机变量及其分布

随机事件可以数量化，即产生了随机变量的概念。引入随机变量后，对随机事件的研究便转化为对随机变量的研究，其本质是为了借助微积分及测度来处理随机现象。由此随机事件可以用随机变量的数值来表示，同时把随机事件出现的概率，用随机变量取某个值或取某个确定范围内的值的概率来确定。在概率论中借助变量的思想，引入随机变量及其相关概念，使之逐渐成为描述随机现象的主要工具。可以说，随机变量是从动态的观点来研究随机现象。随机变量以一定的概率取各种可能值，按其可能取值全体的性质，可将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两大类。常用离散型随机变量的分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布。常用连续型随机变量的分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。

随机变量主要有两个数字特征：一个是数学期望。引入随机变量后，数学期望是概率加权平均，它反映随机变量取值的“平均大小”；另一个是方差，它描述随机变量取值的“分散”程度。

把样本看成随机变量是数理统计的一个基本观点，由部分推断总体是数理统计的基本思想。经验分布函数实际上是事件｛ξ≦X｝发生的频率。实际推断原理（小概率事件原理）贯穿于假设检验的始终。未知参数的极大似然估计，就是使要在参数的可能取值中找出对试验结果最有利（出现的概率最大）的那个参数的取值。线性回归中求回归参数的最小二乘估计，其思想也是要使拟合直线最靠近试验数据点（拟合的偏差平方和达到最小）。

概率统计的理论与方法的应用是很广泛的，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济各个部门中。直观的说，卫星上天、导弹巡航、飞机制造、人口普查、宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳。例如，气象预报、水文预报、地震预报、产品抽样验收、机场跑道修建、在新产品研制中试验设计和数据处理、电子技术发展、在可靠性工程中元件或系统平均寿命估计、在自动控制中数学模型建立、在通信工程中信号抗干扰性和分辨率的提高、通货膨胀率估计、金融（保险、证券）业风险预测与防范等等都是跟概率论与数理统计密不可分的。

9.矩阵和线性方程组的内容可用“线性方程组为体，矩阵理论为用”来概括。即以矩阵为工具研究线性方程组，把线性方程组的问题转化为矩阵问题，再用矩阵运算和理论加以解决，最后得出线性方程组的结果。矩阵的性质是在行列式的发展中建立起来的。矩阵和行列式的紧凑表达式和简化记法是深奥理论的源泉，充分体现了结构好的数学语言的优越性！

本章在教法上不仅要将知识灌输给学生，更要引导学生重新经历一次发现利用这些知识用来解决问题的过程。例如以线性方程组方程的个数与解集之间的关系为线索，引出相关的知识，体会前人探究这些知识的原创性的想法和实质。

参考文献：

[1]康永强.经济数学与数学文化[M].北京：清华大学出版社，2011，9.

[2]高鸿业.西方经济学[M].北京：中国人民大学出版社，2003，1.

[3]顾静相.经济数学基础（第三版）（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2011，9.

[4]左平，张饴慈.什么事数学（对思想和方法的基本研究）（增订版）[M].上海：复旦大学出版社，2008，3

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