狄利克雷积分的分析学计算方法

摘要：本文探讨了狄利克雷积分的计算方法，综合整理了前人运用分析学知识计算此积分的方法。由于此积分的被积函数不能直接求出其原函数，所以不能直接利用牛顿莱布尼茨公式计算其结果。本文整理的五种方法利用数学分析中反常积分、分部积分的相关定理，对被积函数进行变形、展开、还原逐步得到积分结果。

关键词：狄利克雷积分;反常积分;分部积分

中图分类号：O411     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2018）20-0202-02

在高等数学及实际问题中常常出现一些计算极为复杂的或者原函数不能简单地用初等函数表示出来的广义积分，例如本文要探讨的狄利克雷积分I=dx，它也是物理学中有阻尼自由振动方程中常常用到的一个重要积分。本文综合整理了5种运用分析学知识求解此积分的方法，主要运用反常积分的连续性、可微性、可积性以及分部积分的有关定理，通过构造一个类似的函数求出原函数，再逐步还原，最终求解出的积分。

本文整理的五种计算方法分别分布在后文内容中的四个算法之内。在华东师范大学出版的《数学分析》[1]中，I=dx的积分采用的是算法一，主要依赖于在被积函数中添加e项，类似的方法在裴礼文著的《数学分析中的典型问题与方法》[2]和熊大國著的《积分变换》[3]中也有体现。算法二与算法一相似，利用函数e，将狄利克雷积分转化为二重积分从而进行计算。算法三通过构造新的分段函数f（x），来获得该函数积分与狄利克雷积分的关系，这种方法许多作者都已有研究，见文献[4-6]。算法四主要运用了文章[4]中的一个特别的引理，采用分部积分的方法计算出最终结果。

虽然有些积分不能直接计算出其原函数进行求解，但是我们依然可以运用已学知识对函数进行变形，求解其类似函数的积分值再反代回去，得到结果。所以在学习中，我们一定要注重知识的灵活运用，融会贯通。希望本文综合的这五种方法可以给读者灵感，从而解决更多的积分问题。

参考文献：

[1]华东师大数学系.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2006.

[3]熊大国.积分变换[M].北京理工大学出版社，1990.

[4]胡卫敏，郝延顺.多种方法巧妙计算积分dx[J].伊犁师范学院学报，2005，（03）：20-24，51.

[5]许万银.积分dx=的几种计算[J].甘肃高师报，2003，（02）：68-70.

[6]栾召平，孔凡清.重要积分dx的几种证明方法[J].山东电大学报，2001，（02）：58-59.

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