基本不等式及应用
时间：2022-10-27 10:49:01 浏览次数：次
下面是小编为大家整理的基本不等式及应用,供大家参考。
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基本不等式及应用
一、考纲要求：
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
3．了解证明不等式的基本方法——综合法．
二、基本不等式
基本不等式
不等式成立的条件
等号成立的条件
ab≤a＋2 b
a>0，b>0
a＝b
三、常用的几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R) (3)a2＋2 b2≥(a＋2 b)2(a，b∈R)(4)ba＋ba≥2(a，b 同号且不为零)
上述四个不等式等号成立的条件都是 a＝b. 四、算术平均数与几何平均数
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的
算术平均数不小于它们的几何平均数．
2ab 四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+：
a b
当且仅当 a＝b 时取等号.
五、利用基本不等式求最值：设 x，y 都是正数．
ab a b 2
(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时和 x＋y 有最小值 2 P.
(2)如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时积 xy 有最大值14S2.
a2 b2 2
强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：
“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等：等号成立的条件必须存在.
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）
想一想:错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
解 : f (x) x 1 2 x • 1 2
x
x
当 且 仅 当 x 1 即 x 1时 函 数
-
x
取 到 最 小 值 2.
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
解 ：
f (x) x 3 2 x • 3
x2
x2
当
且
仅
当
x
x
2 x
3
即
x
3时
，
函优数选
的 最 小 值 是 6。
大 家 把 x 2 3代 入 看 一 看 ， 会 有
什么发现？用什么方法求该函数的
. .
11 3、已知两正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 z＝(x＋x)(y＋y)的最小值为________．
解一：因为对 a>0，恒有 a＋1a≥2，从而 z＝(x＋1x)(y＋1y)≥4，所以 z 的最小值是 4.
2＋x2y2－2xy 2
解二：z＝
xy
＝(xy＋xy)－2≥2
2 xy·xy－2＝2( 2－1)，所以 z 的最小值是 2( 2－1)．
【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等
号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
11
1 yx
1 x＋y 2－2xy 2
【正确解答】 z＝(x＋x)(y＋y)＝xy＋xy＋x＋y＝xy＋xy＋
xy
＝xy＋xy－2，
令 t＝xy，则 0<t＝xy≤(x＋2 y)2＝14，由 f(t)＝t＋2t 在(0，14]上单调递减，故当 t＝14时， f(t)＝t＋2t 有最小
值343，所以当 x＝y＝12时 z 有最小值245.
误区警示：
(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的
满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数 y＝1＋2x＋3x(x<0)有最大值 1－2 6而不是有最小值 1＋2 6.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致
性，否则就会出错．
课堂纠错补练：
若 0<x≤π2 ，则 f(x)＝sinx＋si4nx的最小值为________．
π
解析：令 sinx＝t,0<t≤ 2 时，t∈(0,1]，此时 y＝t＋ t 在(0,1]单调递减，∴t＝1 时 ymin＝5.
答案：5 考点 1 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不 等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应 用基本不等式的变形形式．
例 1：（1）已知 a, b, c 均为正数，求证：
a 2b2 b2c 2 c 2a 2 abc(a b c)
-
优选
. .
（2）已知 a,b, c 为不全相等的正数，求证：
ab(a b) bc(b c) ac(c a) 6abc
（3）已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 【证明】 (1)∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ba ≥2＋2 ba·ba＝4(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)． ∴1a＋1b≥4.∴原不等式成立．
练习：已知 a、b、c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
证明：∵a、b、c 均为正实数，且 a＋b＋c＝1，
∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)
＝ 1－a
1－b abc
1－c
b＋c a＋c a＋b 2 bc·2 ac·2 ab
＝
abc
≥
abc
＝8.
当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号．
考点 2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现 积为定值或和为定值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性， 否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也 是检验转换是否有误的一种方法．
例 4：
(1)设 0<x<2，求函数 y 2x(2 x) 的最大值．
【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件 【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0，
-
优选
. .
∴y＝ x 4－2x ＝ 2· x 2－x ≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x 即 x＝1 时取等号，
∴当 x＝1 时，函数 y＝ x 4－2x 的最大值是 2. (2) x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值；
（3）已知:x>0,y>0.且 2x+5y=20,求 xy 的最大值.
（4）已知 y a－4 2＋a，求 y 的取值 X 围．
显然 a≠2，当 a>2 时，a－2>0，∴a－4 2＋a＝a－4 2＋(a－2)＋2≥2 当且仅当a－4 2＝a－2，即 a＝4 时取等号， 当 a<2 时，a－2<0， ∴a－4 2＋a＝a－4 2＋(a－2)＋2＝－[2－4 a＋(2－a)]＋2 ≤－2 2－4 a· 2－a ＋2＝－2， 当且仅当2－4 a＝2－a，即 a＝0 时取等号， ∴a－4 2＋a 的取值 X 围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
a－4 2· a－2 ＋2＝6，
(5)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值． ∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y)
＝7＋3xy＋4yx≥7＋2
3xy·4yx＝7＋4 3，
当且仅当3xy＝4yx，即 2x＝ 3y 时等号成立，
∴3x＋4y的最小值为 7＋4 3.
-
优选
. .
练习：
求下列各题的最值．
25 (1)已知 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求 z＝x＋y的最小值；
解：(1)由 x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得 xy＝10.
2 5 2y＋5x 2 10xy 则x＋y＝ 10 ≥ 10 ＝2.∴zmin＝2.当且仅当 2y＝5x，即 x＝2，y＝5 时等号成立．
(2)x 0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值；
∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2
1x2·3x＝12，等号成立的条件是1x2＝3x，即 x＝2，
∴f(x)的最小值是 12.
(3)x<3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值．
∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
＝－[3－4 x＋(3－x)]＋3≤－2 3－4 x· 3－x ＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的最大值为－1.
（4） a 0,b 0,4a b 1，求 ab 的最大值。
考点 3 利用基本不等式求最值的解题技巧 1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．
例 3：（1）已知 a, b R , a b 3 ab ，求 ab 的最小值。
（2）已知 y 2x 1 x2 (0 x 1) ，求 y 的最大值。
（3）已知 a, b R ， a 2 b2 1 ，求 a 1 b2 的最大值。
（4）求函数 y 2x 1 5 2x 的最大值。
-
优选
. .
（5）设 a>b>c>0，求 2a2＋a1b＋a
1 a－b
－10ac＋25c2 的最小值。
A．2
B．4
C．2 5
D．5
【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．
【解析】
原式＝(a2－10ac＋25c2)＋a1b＋ab＋a
1 a－b
＋a(a－b)＋a2－ab－a(a－b)
＝(a－5c)2＋a1b＋ab＋a
1 a－b
＋a(a－b)
≥0＋2
a1b·ab＋2
a
1 a－b
·a
a－b
＝4，
ab＝1 当且仅当 a a－b ＝1
a＝5c
，即 a＝ 2，b＝ 22，c＝ 52时，等号成立．【答案】 B
练习：
（1）(2011 年 XX)设 x，y 为实数，若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________．
解析：4x2＋y2＋xy＝1，∴4x2＋4xy＋y2－3xy＝1
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝32·2x·y≤32·(2x2＋y)2
∵(2x＋y)2－1≤38(2x＋y)2∴(2x＋y)2≤85
2 10
2 10
即－ 5 ≤2x＋y≤ 5 当且仅当 2x＝y 时取等号，∴(2x＋y)最大值＝5 10.
（2）已知 x 5 ，求 y 4x 2 1 的最大值。
4x 5
（3）已知 x y 0 ， xy 1，求 x 2 y 2 的最小值及相应的 x, y 的值。
x y
考点 4 基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤是：
(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；
(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；
(3)应用基本不等式求出函数的最值；
(4)还原实际问题，作出解答．
例 4 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面
围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为 45 元
-
优选
. .
/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：
元)．(1)将 y 表示为 x 的函数；
(2)试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【分析】 (1)首先明确总费用 y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出 y 与 x 的函数关系式；(2)利用基本 不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．
【解】 (1)如图，设矩形的另一边长为 a m.
则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知 xa＝360，得 a＝36x0，
3602 所以 y＝225x＋ x －360(x>2)．
(2)∵x>2，
3602 ∴225x＋ x ≥2
225×3602＝10800.
3602
3602
∴y＝225x＋ x －360≥10440.当且仅当 225x＝ x 时，等号成立．
即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元．
方法归纳：
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变 量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
练习：
1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距 d(m)
与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足：d＝kv2l＋12l(k 为正常数)，假定车身长都为 4 m，当车速为 60 km/h
时，车距为 2.66 个车身长．
(1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式；
(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
1 2.66l－2l 2.16 解：(1)∵当 v＝60 km/h 时，d＝2.66l，∴k＝ 602l ＝ 602 ＝0.0006，
∴d＝0.0024v2＋2.
1000v
1000v
1000
(2)设每小时通过的车辆为 Q，则 Q＝ d＋4 ，即 Q＝0.0024v2＋6＝
6.
0.0024v＋v
∵0.0024v＋6v≥2
0.0024v·6v＝0.24，∴Q≤100.2040＝123500.
-
优选
. .
当且仅当 0.0024v＝6v，即 v＝50 时，Q 取最大值123500.
答：当 v＝50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多．
2、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm2 ，画面的宽与高的比为 (0 1) ，画面的上下各
留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸 X 面积最小？如果
要求 [ 2 , 3] ，那么 为何值时使宣传画所用纸 X 面积最小？ 34
归纳提升：
1．创设应用基本不等式的条件：
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；
(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有 误的一种方法．
2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．
(1)a＋1a≥2(a>0，且 a∈R)，当且仅当 a＝1 时“＝”成立．
(2)ba＋ba≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时“＝”成立．
(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数 y＝ax＋bx，当 a>0，b>0
时函数在[－
ba，0)，(0,
ba]上是减函数，在(－∞，－
ba)，(
b<0 时，可作如下变形：y＝－[(－ax)＋(－bx)]来解决最值问题．
ba，＋∞)上是增函数；当 a<0，
-
优选
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