工科研究生数值分析课程教学改革

摘 要：为了提高工科研究生“数值分析”课程的教学质量，针对工科研究生“数值分析”课程的学科特点和存在的普遍问题，通过优化教学内容、改进教学模式、加强实践教学、鼓励学生参与科研项目和竞赛以及改革考核方式等多种方式对教学环节进行改革，引导研究生了解常用算法的基本思想、程序开发、实际应用和最新进展等内容，促进学生对常用算法的认识和理解，并提高其解决实际工程问题的能力。

关键词：数值分析；教学改革；Matlab

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）22-0145-03

Abstract： To improve the curriculum teaching quality of the "Numerical Analysis" for engineering postgraduates， various ways are analyzed and adopted to reform the curriculum based on the curriculum characteristics and the common problems， and the main means include optimizing the contents， improving the teaching patterns， strengthening practices， encouraging the postgraduates to participate in the projects and competitions， and rationalizing the assessment modes. These steps will guide the postgraduates to master the basic principles， programming techniques， applications and the latest progress， and also enhance the comprehension for the algorithms and upgrade the ability to solve the engineering problems.

Keywords： numerical analysis； curriculum teaching reform； Matlab

一、概述

随着我国现代工业的快速发展和人们接受更高层次高等教育需求的不断增长，如何提高研究生教育质量，并为社会培养高素质的创新型人才是我国研究生教育所面临的主要问题之一。而研究生的培养与本科生有着明显的区别，其显著特点有：1.研究生教育的目標是培养高层次创新型人才，特别注重基础理论知识的积累和科研思想的培养；2.研究生教育要培养学生独立开展科研工作的能力和创新思维，研究生拥有很大的自主空间；3.培养研究生综合应用多学科知识解决实际工程复杂问题的能力[1]。因此，对于工科研究生而言，能对工程模型进行快速高效地科学计算是其必备的基本能力之一。

目前，科学计算是与理论分析和实验研究并列的科学研究工作中的三大方法之一，在计算力学、机械设计、机电控制、结构分析等工程领域都得到了广泛的应用[2]。数值分析课程作为工科研究生的公共基础课，主要介绍科学计算中的误差与常用的数值计算方法，其教学目的是让学生系统地了解和掌握常见工程问题数值求解的思想和方法，为后续课程的学习和课题研究的顺利进行奠定良好的基础。因此，培养工科研究生工程问题的计算能力，切实提高数值分析课程教学质量是一项长期的课程建设任务。

二、数值分析课程的特点

数值分析课程的教学内容主要是利用电子计算机来求解工程问题的数值理论和方法，兼有理论课和实践课的要求，具备以下特点[3]：

1. 数值分析课程教学内容比较丰富，国内高校为工科研究生开设本课程是以实际工程问题中所建立数学模型的数值求解为出发点，主要包括误差的基础知识、插值法、数值逼近、方程（组）的根、数值微积分、微分方程数值解和边界值问题的求解等内容，与高等数学和线性代数课程有着明显的区别。

2. 数值分析课程是与电子计算机使用密切相关的课程，学生既要系统掌握和使用常用数值算法，又要能借助计算机软件来解决实际工程问题。

3. 大多数数值分析的课程教材对各种问题的常用计算方法的介绍相对独立，而且是以常用数值算法的理论知识为主。

三、数值分析课程教学现状分析

多年以来，我院为机械工程专业的研究生开设了数值分析课程（32学时），主要选用李庆扬等主编的“数值分析”作为推荐教材[4]。该教材主要包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解法等常用内容，能满足研究生数值分析课程的教学要求，在国内高校中得到了高度评价和广泛使用。然而，在我院该课程的教学中，也存在一些比较普遍的问题，主要有：1.学生在学习数值分析课程时，面对复杂的数学公式和算法普遍有畏难抵触情绪，往往处于被动学习状态；2.教材内容侧重于理论知识的介绍，缺少典型工程背景知识，学生对所学算法的应用场合理解不够；3.学生对常用数值计算软件（如MATLAB）的使用学习不足，利用商业软件进行数值计算来解决实际工程问题的能力急需提高。

因此，为了进一步提高数值分析课程的教学质量，必须推进该课程的教学改革和创新，加强工程背景知识和案例库的建设，建立理论知识和软件应用相结合的课程教学体系，提高学生学习课程的目的性、积极性和主动性。

四、数值分析课程教学改革

根据我院数值分析课程前期开设所积累的经验和存在的主要问题，结合该课程的特点和学生的实际情况，我们开展了该课程的教学改革探讨。

（一）优化教学内容

为了切实提高该课程的教学水平，达到使学生掌握并会使用算法的目的，在充分考虑该课程教学目标要求和学生实际水平的基础上，任课教师对教学内容进行优化。根据我院本课程教学的实际情况，我们主要做了以下几方面的尝试。1.根据本课程教学应理论知识与实践教学并重的指导思想，我们对国内外数值分析课程教学所使用的教材进行了全面调研，在继续坚持李庆杨等编写的《数值分析》作为主教材的同时，参考并引入了多本国外经典“数值分析”教材来丰富课程教学内容，主要有S. Chapra主编的Applied numerical methods with MATLAB for Engineers and Scientists， T. Sauer主编的Numerical analysis和C. Moler主编的Numerical computing with MATLAB等[5]。在坚持常用数值算法理论知识的情况下，加入了具有代表性的工程背景知识及MATLAB程序案例和代码，使学生掌握工程背景、求解思想、数值算法和MATLAB程序实现等解决实际工程问题的全过程。2.由于教学学时所限，教学内容必须根据专业要求有所取舍。而对我们工科学生来说，教学侧重点肯定与数学专业的是不一样的，教学内容应该集中于算法的实现过程和实现方法方面。另外，课堂上不同算法的讲授要区分重点和难点，主要分析常见算法的基本思想、算法的实现和适用范围以及与其它算法的优劣。例如，线性方程组的数值解法，重点介绍雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的基本思想，迭代过程和相互关系等内容，通过分析工程案例和程序实现，使学生能够有目的地选择合适的算法来解决实际工程问题。而对于共轭梯度法和最小残差法等专门算法仅介绍其基本思想和优缺点即可。又比如在数值积分部分，在介绍抛物型公式积分、复化梯形公式积分和复化辛普森公式积分和龙贝格公式积分的基本思想和递推关系后，重点介绍在工程实际中常用的龙贝格积分公式和高斯求积公式，通过调用相应的MATLAB程序向学生展示求解实际工程问题的全过程。3.在教学内容中加入最新科研论文中各种常用算法的应用和进展，以便学生全面了解各种新算法的功用和思路，提高学生的创新能力[6]。4.对于课堂上由于课时和复杂程度所限而无法展开讲授的算法，为学生介绍其基本思想、应用场合和适用范围等基本内容后，鼓励学生课下自学[7]。

（二）改进教学模式、方法和手段

随着信息技术的快速发展和普及，目前国内大多数高校均逐步采用多媒体教学来取代或部分取代传统的教学模式，而多媒体教学方法也以其课堂大容量、教学效率高和表现形式丰富等突出优点得到了师生的广泛认可。我院在“数值分析”课程的教学中也采用了多媒体教学，并取得了良好的效果。然而，对于部分教学内容，尤其是涉及数学推导和需要反复思考及练习的教学内容，我们发现采用多媒体教学并不能取得很好的教学效果，必须根据教学内容的具体特点采取更合适的教学方式[8]。例如，在介绍拉格朗日插值和牛頓插值等内容时，我们有意识地选择传统的板书为主的方式，放慢教学进度，让学生充分地理解和思考插值法的问题来源，插值函数构造思想和不同插值法的区别并完成一定量的练习，反而取得了不错的反响。另外，以往的教学主要是以课堂讲授为主，课下只是完成一定量的习题或者简单的计算，学生学习的重点局限在具体算法的应用方面，这与培养学生解决复杂工程问题能力的教学目标相去甚远。目前，我们有意识地在教学设计中包括数值求解实际工程问题的全过程，例如，在介绍微分方程的数值解法时，从悬臂梁的弯曲变形这个简单的实际工程问题出发，让学生建立其弯曲变形数学模型，然后选用所学的四阶龙格库塔法自行开发程序和直接利用MATLAB自带的ode45函数分别进行运算，最终得到计算结果并对比分析，通过让学生完成解决问题的全过程来切实提高其解决实际工程问题的能力。

（三）增设实验教学环节

国内工科研究生数值分析课程所选用的教材一般都是以理论知识为主，从一系列公式的推导开始，详细介绍各种具体算法，然后就跳过计算过程而直接给出计算结果，这就容易导致学生对计算过程缺乏完整体验，对计算结果的正确性和计算精度也无从判断。Matlab是美国MathWorks公司出品的，以数值计算见长的商业数学软件，在世界范围内得到了广泛的认可和应用[9]。为了切实提高学生利用软件工具来解决实际工程问题的能力，我们结合教学内容中所涉及到的常用数值算法和有代表性的工程问题，基于Matlab软件开发了一系列典型案例并在课堂上进行实验演示，充分发挥多媒体丰富的展示功能，比较直观地让学生了解算法实现的具体过程和最终结果。例如，在矩阵分解方面，我们就提供并演示了Cholesky分解，LU分解，QR分解，SVD分解，Schur分解和Hessenberg分解等Matlab软件自带的分解函数的实际应用案例[10]；在函数插值方面，提供并演示了Matlab软件自带的一维插值、二维插值、多维插值和样条插值等自带函数的应用案例。另外，在教学内容设计时积极考虑实施项目教学法的必要条件，通过一些专业学术论文和教师的科研任务给学生提出相对独立的项目，明确任务目标和要求，由学生来完成方案设计、模型建立、算法选择、程序开发或利用MATLAB软件和工程计算等全过程，实现理论与实践相结合，初步培养学生独立承担项目工作的能力。由于课时所限，课堂上不可能过多地讲解Matlab软件的实际应用，因此我们鼓励学生选修或自学Matlab软件，并以课题小组的形式完成给定项目工作。将课堂实验演示和课外项目工作相结合，才能使学生真正把算法搞明白，并应用到解决复杂实际工程问题的工作当中。

（四）参与科研项目和竞赛活动

为了提高学生综合利用所学知识解决实际工程问题的能力，选取部分学生以小组的形式加入到教师的科研项目中来，在教师的指导下让其独立承担部分数学计算的工作。通过全程参与实际科研项目工作，让学生熟悉数值计算的全部环节；通过对不同算法的比较和对计算结果的分析，让学生加深对算法优劣和适用范围的认识，为其开展课题研究积累宝贵的经验。另外，鼓励学生积极参加课外科技活动，通过参加全国研究生数学建模竞赛和数学中国数学建模网络挑战赛等高水平的数学竞赛，达到开拓学生视野，培养学生自学能力、团队配合意识和创新精神的目的[11]。

（五）考核方式的改革

作为评价教学效果的重要手段，课程考核方式对促进学生学习和教师教学均具有重要的导向作用。以前，我院研究生"数值分析"课程的考核是以期末理论考试为主，考查的知识点相对比较单一，不能完全反应出学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。另外，研究生课程主要是以能力培养为主要目标，考核方式也应该能体现出学生的实际能力。因此，我们有意识地加大了对学生完成给定项目能力的考核力度，把基于Matlab软件的程序开发和应用能力及项目完成情况纳入了考核的范围，这部分成绩占50%，期末考试成绩占50%，期末考试采用开卷形式，题目以应用型和设计型为主，这些题目强调工程应用背景，重点考查学生综合运用所学知识解决复杂工程问题和创新思维的能力[12]。

五、结束语

针对工科研究生数值分析课程的教学要求、学科特点和教学存在的普遍问题进行了全面分析，通过优化教学内容、改进教学模式、加强实践教学环节、鼓励学生参与科研項目和竞赛以及改革考核方式等多种方式，并在教学过程中积极推进案例教学法和项目教学法等有效方法，引导研究生了解常用算法的问题来源，基本思想、程序开发、实际应用和最新进展等内容并展开讨论，促进学生对常用算法的认识和理解，并提高其应用算法和软件解决实际工程问题的能力，切实提高研究生“数值分析”课程的教学质量。

参考文献：

[1]涂俐兰.研究生“数值分析”精品课程建设与实践[J].大学数学，2012，28（6）：10-12.

[2]刘春凤，杨爱民，马醒花.研究生课程《数值分析》的教学改革[J].河北理工大学学报（社会科学版），2010，10（2）：73-74.

[3]郑继明.研究生数值分析课程的教学改革[J].计算机教育，2016，6：155-157.

[4]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].5版，北京：清华大学出版社，2008.

[5]唐玲艳，李建平.国内外典型计算方法教材的对比分析[J].大学数学，2015，31（5）：47-52.

[6]唐玲艳，宋松和.《高等数值分析》教学案例的建设与思考[J].大学数学，2015，31（1）：42-47.

[7]王兵贤，胡康秀，王泽文.自主学习模式下“数值分析”实验教学的探索与实践[J].实验室研究与探索，2012，31（6）：147-149.

[8]韦煜明，申宇铭.多媒体辅助教学在《数学分析》中的利与弊及改进措施[J].高教论坛，2012，4（4）：37-40.

[9]袁利军，曾静.MATLAB在数值分析课程教学改革中的作用[J].科教文汇，2017，379（3）：55-56.

[10]谢志州.“数值分析”实验教学的实践与探索[J].2010，29（5）：133-136.

[11]郭金，韦程东.在数值分析教学中融入数学建模思想的研究与实践[J].广西师范学院学报（自然科学版），2008，25（3）：124-127.

[12]谭小花，袁仕芳，梁艳芳.Matlab软件环境下数值分析考核方式研究[J].大学教育，2017，2：72-73.

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