多元视角下的数学认知

摘 要： 文章从关于数学的地位、对于数学的理解、对于数学知识的认识三方面分析数学认知中存在的几个误区，使人们对数学有一个更正确、更全面的认识。

关键词： 数学认知 认知误区 多元视角

数学家外尔曾说：“除了天文学以外，数学是所有学科中最古老的一门科学。”数学在促进社会进步、科学发展的同时也在不断融入我们的生活，由此对数学有一个正确的认知至关重要。本文从对数学的几个认知误区谈起，旨在让大家对数学有一个更加正确、全面的认识。

一、误区一：关于数学的地位

数学是一门有着几千年发展历史的学科，人们通常认为数学属于自然科学的范畴，也常把数学和物理等一并归入理科。事实上对于数学人们在不同时期有着不同的理解和认知，数学的地位也在不断变化着。

古希腊时期，亚里士多德把数学与物理、“形而上学”等一起置于理论哲学之中；中世纪，数学作为哲学的一个分支甚至被放在神学的名目之下；文艺复兴时期，达朗贝尔将数学划归于自然科学之内［３］。20世纪以后数学得到空前的发展，除自然科学（物理学、化学、生物学、航空学、地质学、气象学，等等）之外，数学还向各门人文社会科学渗透，如：经济学、语言学、人口统计学、管理科学、政治科学、心理学、社会学、历史学、考古学，等等，应用数学的发展成为数学发展史上的第四个高峰。鉴于数学研究范围的不断扩大，对于数学的地位就有了新的认识。前苏联的茹科夫将科学划分为普遍科学（哲学、数学）、总体科学（一般系统论、控制论）、局部科学（物理、化学、生物等）；钱学森认为科学应分为自然科学、社会科学、数学科学、系统科学、人体科学、思维科学；于光远认为科学应分为哲学、数学、自然科学、社会科学、思维科学五类；而20世纪末期出版的《大不列颠学科全书》将知识学问作了如下分类：逻辑、数学、科学、历史、人文科学和哲学［３］。

由此看出，长期以来把数学归于自然科学的范畴是人们对于数学认知的误区之一，已不再适应当今数学的发展趋势。鉴于数学广泛应用于众多学科，渗透于人类社会发展的各个角落，数学已确立了其基于各门学科之上的独立的科学地位。

二、误区二：对于数学的理解

大众对于数学的理解往往局限于中学所接触的初等数学部分，关于算数、几何等偏于应用的部分，而对数学的本质及研究内容理解不够。数学具有高度的理论指导价值和普遍适用的应用价值，鉴于此，数学有纯粹数学与应用数学之分。

纯粹数学是数学的核心领域，大体上分为三大类：研究空间形式的几何类、研究离散系统的代数类、研究连续现象的分析类。其涵盖函数论、泛函分析、抽象代数、数论、集合论、代数几何、微分方程论、数理逻辑、概率论、拓扑学、微分几何等经典学科。纯粹数学经历了19世纪的不断积累，在20世纪得到了突飞猛进的发展，显示出了更高的抽象性和统一性。20世纪中叶以来随着社会和科学技术的不断发展，数学已经向各个领域渗透，一方面与各领域相结合形成了众多交叉学科；同时也产生了相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论、计算数学等。

纯粹数学研究数学内部问题，“它自身独立的发展着，通常并不受来自外界的明显影响，而只是借助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的富有成果的问题，因而它自己就以一个真正提问者的身份出现。”［４］应用数学研究数学在各领域的应用问题，旨在利用数学方法解决现实问题，动力来自外部世界。人们对于数学的认识多集中在数学的一些简单应用，而对数学的核心领域（纯粹数学），以及数学的深度应用并不了解，即不理解数学的本质。

从客观上讲，这种理解上的误区部分来自于数学的高度抽象性。一般来说，通过介绍人们并不难理解克隆、计算机、营销、管理、机电原理等知识，但数学家们就连向人们陈述一个最为基本的数学概念（如数列极限的概念：设{x}为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式|x-a|＜ε都成立，那么就称常数a是数列{x}的极限，或者称数列{x}收敛于a），也很难被理解。数学的曲高和寡和孤芳自赏已经成为人们对数学理解上的一道鸿沟，要改变这一现状需要多方努力：（1）将高度抽象的数学知识通俗化向大众普及；（2）大学阶段重视高等数学（包括大学文科高等数学）的教育。

三、误区三：对于“数学知识”的认识

鉴于数学的高度抽象性，人们对于数学知识的认识和理解并不多。尽管如此，人们还是从各种渠道了解到一些数学知识，但对这些知识的理解却是片面和错误的。下面举几个例子说明这种片面性和错误性。

（一）对于几何的认识

人们对于几何的一般理解仅局限于建立在五大公设基础之上的“欧氏几何”，但欧几里得第五公设（过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行）并不像其它公设那样显然，数学家们努力用其它公设证明第五公设，但都以失败而告终，从而使得欧氏几何并不完美与正确。最先认识到非欧几何的是数学王子高斯，但限于自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，高斯的研究并未公开，后又经过波约和罗巴切夫斯基的深入研究，创立了新的几何学——非欧几里得几何学。这种“另类”的几何学推翻了欧几里得第五公设，以“通过直线外一点可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线”作为替代公设，推导出了逻辑上可能的无矛盾的非欧几何。非欧几何有着奇特的、难以理解的一些结果，比如三角形三内角之和小于180度；假如三角形变大，使它所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋于零；等等。非欧几何经过黎曼的进一步发展形成了一种更广泛的几何——黎曼几何，黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性［４］。除此之外，射影几何、微分几何、拓扑学等新的几何学也得到了空前的发展。

（二）著名的希腊问题（三等分角、倍立方、方圆）

三等分角问题为：给一个角，试求另一个角其大小为已知角的三分之一。或许人们认为这个问题并不困难，也确实有若干种方法可行。但人们往往并不了解这个古老问题的背景，古希腊人非常注重维护理性、纯粹的精神，坚持尺规作图的限制，即只能用直尺和圆规作图。即便如此我们还是能举出一些解法，但希腊人当初还限制了规尺的用法，譬如说在直尺上标两点之后用来解题是不许可的。对此数学家已经认为不可能三等分一个角，不可能使圆变成方。或许还是有人疑问这个问题到底有没有解，这里我要说明的是，数学上的不可能是在严格的逻辑推导下得到的，并不表示这个问题解决的可能性比较小，而是绝对意义下的不可能。

（三）哥德巴赫猜想

提到“哥德巴赫猜想”或许大家还比较陌生，但提到我国著名数学家陈景润研究的“1+1=2”问题，大家既熟悉又陌生。熟悉是因为大家很早就听过这样一个数学问题，并以中国数学家在这个问题上取得的巨大成绩而感到骄傲；陌生是因为很多人并不真正地明白这个问题。“哥德巴赫猜想”是数论中的一个经典问题，1742年德国数学家哥德巴赫在给欧拉的一封信中写道“我不相信关注那些虽没有证明但很可能正确的命题是无用的，即使以后他们被验证是错误的，也会对发现新的真理有益”，于是提出猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。这个问题提出以来，众多数学家付出了艰辛的努力并取得了一系列显著的成果。1937年维诺格拉多夫利用圆法证明了奇数部分的猜想。偶数部分的猜想主要利用筛法证明，记{k,l}表示大偶数分解为不超过个奇素数的积与不超过l个奇素数的积之和，从1919年挪威数学家布朗证明{9，9}直到1937年陈景润证明{1，2}，证明不断向终点靠近，但“哥德巴赫猜想”至今尚未完全解决。

人们对数学的理解通常存在诸多误区，鉴于数学的重要地位和广泛应用，对数学应该有一个全面、正确的理解和认识，这仍需要我们不断努力。

参考文献：

［1］张维忠.论数学的文化价值［J］.西北师大学报（社会科学版），1998，3.

［2］胡典顺.数学教育中的若干认识误区——基于数学哲学的思考［J］.天津师范大学学报（基础教育版），2011，1.

［2］黄翔.数学教育的价值［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］李文林.数学史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［4］高隆昌.数学及其认识［M］.北京：高等教育出版社，2004.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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