近世代数与其他课程的结合与应用

摘 要： 本文用具体例子阐述了近世代数与其他数学课程的相互渗透与应用。

关键词： 近世代数 高等代数 几何 分析课程 结合与应用

近世代数这门课程具有极高的抽象性，在一定程度上，这门课程中的很多概念是从一些具体的数学模型中抽象出的一般结构.另外，每一次抽象回到具体，能够化解一些具体问题，甚至能解决一些以前不能解决的问题.Galois理论解决方程根的问题就是非常典型的一个例子.并且，近世代数与其他课程相结合，具有极大的工具作用.本文就一些具体问题，用具体例子阐述近世代数与其他数学课程的相互渗透与应用.

一、近世代数与高等代数

近世代数是高等代数的后续课程，近世代数中的很多一般理论都建立在高等代数的一些具体的群、环上，例如，置换群、n阶矩阵环、数域p上的多项式环是高等代数提供的一些具体的代数结构，这都是我们熟知的.并且这些结构还可以验证近世代数中的一些结论，下面就是一个具体例子：

用矩阵环验证环论中的一个结论，若M，N是环R的子环，M+N未必是R的子环.

设R为一个数域F上2的全矩阵环，设

0 x0 0∈M，00y 0∈N，

0 x0 0＋00y 0＝0xy0?埸M+N，不封闭，自然不能构成子环.

二、近世代数与几何

1.近世代数也是一些几何模型的抽象，群的定义引入就用了很多的几何对称图形［４］［５］.

2.近世代数的一些思想可以通过具体的几何图像得以直观地解释，比如陪集的分类思想，见下例：

={x∈Ｒ|x=2kπ+r， k∈Ｚ}，（0≦r<2π）是群Ｒ关于子群H的包含r的一个陪集.对于一个给定的r（0≦r<2π），凡是可以写成2kπ+r的数都在中，它们是实数轴上相距2k的所有的点组成的点集.

3.复平面上的每个点对应一个复数，以下我们把复平面上的点z称为复数z.

以原点为圆心，正实数r为半径画圆可以得到无穷多个同心圆C（r∈R）.如下图：

C=｛z∈C｜｜z｜=r｝， （r∈R）是非零复数集合的子集，具有性质：

1）C=C；

2）当r≠t时，C∩C是空集；

3）单位圆周C的任意两个复数的乘积还在C中，非单位圆周C没有这个性质；

4）以原点为起点作射线l与各同心圆相交，交点l∩C=z（r∈R）.所得的复数的幅角都相同，只是模不等.设幅角为θ，z=Re=Rz，则σ：z→z是C到C的双射；

5）以C为元素组成的集合S，即S=﹛C| r∈R﹜.规定φ：C→r，则φ是S到r到R的双射.

用近世代数的观点解释是：

①U=C={z∈C||z|=1}，（U， ?莓）是（C，?莓）的子群，并且是正规子群；

②C=RU={Rz∈C||z|=1}，C是C关于子群U的包含r的陪集；

③C等于所有不同陪集的并，C=（rU）；

④不同陪集的交是空集，（tU）∩（rU）=?准（t≠r）；

⑤每个陪集rU与U之间存在双射σ：re→e;

⑥以陪集为元素组成的集合S是C关于正规子群U的商集，即C/U=｛rU|r∈R｝=｛C|r∈R｝=S.rU中任一个数都可以代表rU，记=rU==……；

⑦规定C/U的代数运算.=，则（C/U，?莓）是群；

⑧C/U到R的双射Φ:→r〔即5）中的映射φ：C→r〕保持运算

φ﹙?莓﹚=φ﹙﹚=r•t=φ﹙﹚•φ﹙﹚

φ是商群（C/U，?莓）到群﹙R，?莓﹚的同构映射，于是C/UR.

另外比较典型的一例是二面体群.此例也可以说明“用几何图形，充分说明群是由对称抽象得到的结果”，但因为有诸多文献阐述几何对称与群的关系，通过此例也只是可以再次看到对称与群的关系的内在联系，所以本文不准备再赘述这种联系，主要是用此例说明：近世代数中生成子，生成关系与群这几个概念，以及群的本质结构，可以在几何图形中得到最好的诠释.首先来看二面体群G：如果F是平面上正n边形，令T为绕中心转，S为对于某一对称轴的镜面反射，我们可以证明由2n个元素组成的集合G={T，T，…，T，ST，ST，…ST}是一个群（其中，T=I，ST=TS，S=I）.

根据群的定义，直接验证可知G是一个群，但这个群可以用另外一种方式表达，即从生成的本质上来予以表达.我们从G的几何构成上很容易看到，G是由生成T，S并且符合生成关系T=I，ST=TS，S=I，所以G是由二元素生成的自由群的商群，G=（T，S）/N，其中N是由T，STST，S生成的正规子群.

三、近世代数与分析课程

综合利用近世代数和分析课程以及其他数学知识，可以解决一些比较困难，甚至表明看起来无法解决的一些问题.

例1.抽象代数、数学分析与组合数学的综合应用［６］［７］［８］.

设a，a，…，a是正整数序列，则至少存在k和l， 1≤k≤l≤m，使得和a+a+…+a是m的倍数.

分析：1.正整数序列除每个数是正整数外，没有其他特征.而结论似乎也只有和这个数有点联系.

2.分析结论，a+a+…+a是m的倍数其实就是a+a+…+a≡0（mod m），而m的剩余类共有m类，在分类思想下，对并无任何规律的正整数序列a，a，…，a似乎有所控制.

3. 继续分析结论，a+a+…+a，即是数学分析中的和差S-S，这样结论就是要S，S这“两只鸽子”符合关系S-S≡0（mod m），或者说S≡S（mod m）.

4. 正整数序列a，a，…，a虽然无任何规律，但由于正整数的特点：有S

证：设S=a， S≡r（mod m ）0≤r≤m-1，（h = 1， 2， …， m）.

若存在l， S≡0（mod m ）则命题成立．否则，l≤r≤m-1．但h = 1， 2， …， m．

由鸽笼原理，存在r=r， 从而S=S，不妨设 h ＞k．则：

S-S=a+a+…+a≡0 （mod m ）.

参考文献：

［1］张禾瑞.近世代数基础（修订本）.高等教育出版社，1978.

［2］吴品三.近世代数.高等教育出版社，1979.

［3］胡冠章.应用近世代数.清华大学出版社，1999.

［4］胡万宝，吴琼.群论教学中的对称渗透.安庆师范学院学报（自然科学版），2001，（3）.

［5］李桃生.用近世代数观点来看初等数学.高等函授学报（自然科学版），1996，（2）.

［6］曹汝成.组合数学.华南理工大学出版社，2000.

［7］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.高等教育出版社，1992.

［8］华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.高等教育出版社，2001.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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