一种二元函数极值存在的充分条件的简单证明方法

【摘 要】在数学分析和高等数学的教材中都用泰勒公式证明二元函数存在极值的充分条件，很复杂。本文不使用泰勒公式，给出该条件一个简单、易懂的证明方法。

【关键词】二元函数；偏导数；极值

中图分类号：O172.1 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）14-0183-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.083

A simple proof of sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables

ZHENG Lian-wei

（School of Sciences， Northeastern University， Shenyang 110819， China）

【Abstract】In mathematics analysis and higher mathematics textbooks， the sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables is proved by means of Taylor’s formula. The proof is very complicated. In this paper， a simple and easy-to-understand proof of the sufficient condition is presented without using Taylor’s formula.

【Key words】Functions of two variables； Partial derivative； Extreme value

0 引言

高等数学是大学理工科专业必修的一门基础课程，其主要研究对象是函数。极值是函数的一个重要特性，导数是研究极值的基本方法。一元函数存在极值的必要条件是导数为零；二元函数存在极值的必要条件是偏导数为零。对于一元函数有利用一阶导数或二阶导数的正负号判断极值的充分条件，这个条件很容易理解和证明；对于二元函数有利用二阶偏导数判断极值的充分条件，它不能直观理解，而且难以证明。在著名的数学分析和高等数学教材[1-3]中利用多元函数泰勒公式证明二元函数存在极值的充分条件，很复杂，给教师的讲授和学生的理解带来了不便。尤其是高等数学课程，多元函数的泰勒公式不在教学要求内，因此根本无法讲授这样的证明，学生不能理解这个条件，只能死记硬背公式，这样不利于增加学生的学习兴趣。本文不使用泰勒公式，通过把二元函数转换成一元函数，给出其存在极值的充分条件的一个简单、直接、易于理解的证明方法，它完全适用于一般的多元函数，在高等数学的课堂上也能讲授，给学生提供一个完整的知识体系。

1 二元函数极值充分条件的简单证明

定理1设函数f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有二阶连续的偏导数，fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）当AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；

（2）当AC-B2<0时没有极值。

证明令F（x，y）=f（x0+x，y0+y），则f（x，y）在（x0，y0）处的极值問题可以转换成F（x，y）在（0，0）处的极值问题，因此以下只对（x0，y0）=（0，0）的情况证明。

（1）设A<0，易知C<0。由AC-B2>0及二阶偏导数的连续性可知，存在（0，0）的一个邻域U，使得在U内，fxx（x，y）<0，fxx（x，y）fyy（x，y）-（fxy（x，y））2>0。对任意（x，y）∈U，（x，y）≠（0，0），存在ε>0，使得当-1z（1），即f（0，0）>f（x，y）。由于（x，y）是U内任意不为（0，0）的点，所以f（0，0）是极大值。同理可证当A>0时，f（0，0）是极小值。

2 结语

本文对二元函数极值充分条件的证明首先利用二阶偏导数的连续性确定了一个驻点的邻域，然后证明了驻点的函数值是二元函数在邻域的每个直径上的最大值或最小值，从而是极值。本文的证明方法与文献[1-3]著名教材的方法不同，避开使用泰勒公式，是一个很初等的证明方法。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]廖可人，李正元.数学分析3[M].北京：高等教育出版社，2015.

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